4.3.2 Trikotniki

Zahtevne povrsine se velikokrat v praksi raje aproksimirajo z mnozico trikotnikov ali mnozico planarnih konveksnih mnogokotnikov. Izracun presekov je lazji, napaka zaradi diskretizacije pa normalno ni opazna, ce uporabimo tehniko inkrementalnega sencenja in prilagodljivo delitev parametricnih povrsin z oceno ukrivljenosti v ploskvi.

Predpostavimo, da imamo zarek in trikotnik T definiran s tremi nekolinearnimi ogljisci , in .

Povrsino P, ki vsebuje trikotnik T, zapisemo kot

kjer je poljubno izbrana tocka na povrsini, izhodiscna tocka, ki definira lego povrsine v koordinatnem sistemu, pa normala, ki doloca orientacijo ravnine. Izhodiscna tocka je lahko katerokoli ogljisce trikotnika.

Normalo ravnine definirajo ogljisca trikotnika. Ravnina ima dve strani in s tem dve mozni usmerjenosti normal. Za dolocanje preseka izbor vrstnega reda ogljisc v vektorskem produktu ni pomemben:

Zarek je na povrsini takrat, ko oddaljenost zadovoljuje enacbo

kar ob resitvi da

Ob dolocitvi presesica zarka z ravnino je potrebno ugotoviti se ali se presecisce nahaja znotraj trikotnika. Ogljisca trikotnika lahko uporabimo za nastavitev enostavnega koordinatnega sistema na ravnino P. Vsaka tocka na ravnini je podana v tem koordinatnem sistemu kot:

 

Tocka se nahaja v trikotniku, ce je:

Inverzne koordinate u in v dolocimo iz enacbe (4.22) tako, da vektorsko enacbo napisemo po komponentah. Ker so komponentne enacbe tri, neznanki pa dve, je ena od enacb odvec. Osnovno pravilo pri odlocanju, katero koordinato izlociti je, da izlocimo dominantno koordinato; to je tista, ki ima v normali ravnine absolutno najvecjo vrednost. Izberimo primer ravnine, ki ima najvecjo vrednost v koordinati z normale . Komponentni enacbi sta:

iz katerih lahko izrazimo polozaj tocke v koordinatnemu sistemu ravnine :

Po dolocitvi presecne tocke, je potrebno dolociti pravilno stran ravnine, tako da velja enacba . V dosedanjem obravnavanju se za normalo ni zahtevala enotska dolzina, je pa obicajno potrebna pri osvetlitvenem modelu.